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2009传热学补充教材doc

归档日期:09-06       文本归类:发射角      文章编辑:爱尚语录

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  传热学教学补充材料 杨茉 李凌 单彦广 赵明 修订 上海理工大学热工程研究所 2009年9月 目 录 教学进度计划表……………………………………...…..………….………..3 思考题和练习题………………………………………………...…………….4 补充习题…………………………………………………….……...…..……..4 复习提纲………………………………………………………………………7 计算机实习指导书…………………………………………….…….....……..11 1. 练习题一:一维稳态导热的数值计算………………………………………..11 2. 练习题二:二维稳态导热的数值计算……………………………………….14 3. 练习题三:一维非稳态导热的数值计算…………………………………….15 补充内容:绕流平板的流动和换热,无量纲参数,比拟和相似………… 1. 物理问题……………………………………………………..……………12. 数学模型…………………………………………………………………..13. 数学模型的无量纲化………………………………………………………14. 局部对流换热系数和……………………………………20 5. 局部系数和……………………………………………..22 6. 无量纲参数……………………………………………………....22 7. 比拟和相似………………………………………………………………..23 教材 杨世铭 陶文铨 编 《传热学》第四版,高等教育出版社,2006。 教学参考书: 杨世铭 陶文铨.传热学,第三版. 北京:高等教育出版社,1998 J.P. Holman. Heat Transfer, Seventh. 9th Ed McGraw-Hill, New York 1999 Kreith, Frank. & Bohn, Mark. Principles of heat transfer. New York: Harper & Row,1986. 任泽霈. 对流换热. 北京:高等教育出版社, 1998 阿巴慈V S ,拉森P S,顾传保 等译. 对流换热. 北京:高等教育出版社,1992 王启杰. 对流传热传质分析. 西安交通大学出版社 Nayeem M. Farukhi,Heat transfer--Denver, American Institute of Chemical engineers, 1985 . Alan J. Chapman.Heat transfer. New York : Macmillan ; London : Collier Macmillan, 1984. 斯帕罗 E M, 塞斯 R D. 辐射换热. 顾传保 张学学译. 北京:高等教育出版社, 1982 余其铮. 辐射换热原理. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2000 杨贤荣,马庆芳. 辐射换热角系数手册. 北京:国防工业出版社,1982 茹卡乌斯卡斯A A,马昌文 等译. 换热器内的对流传热.北京:科学出版社,1986 黄素逸. 动力工程现代测试技术. 武汉:华中科技大学出版社,2002 曹玉璋. 实验传热学. 北京:国防工业出版社 王秋旺. 传热学重点难点及典型题精解. 西安:西安交通大学出版社,2001 Cengel Y. A., Heat Transfer, A Practical Approach, WCB McGraw-Hill, Boston,1997 Incropera F. P., DeWitt D P., Introduction to Heat Transfer, 4th edition, John Willey & Sons, 2001. Incropera F. P., DeWitt D. P., Fundamentals of Heat and Mass transfer, 5th edition, John Wiley & Sons 2002. Holman J. P., Heat Transfer,10th Ed. McGraw-Hill, New York 2002. 一、教学进度计划表 上课周次 日期 起 讫 理 论 教 学 他 环 节 书或课外作业 自学 时数 内 容 时数 内 容 时数 内 容 (注明章节页数) /9~ 26/9 第一章绪论 §2-1导热基本定律2-2导热微分方程式及定解条件 第一章:4,10,15,18,24,27,28 8 6 27/9~ 3/10 §2-3典型一维稳态导热问题的分析解 §2-4通过肋片的导热 第二章:1, 2, 3, 13, 14, 16, 24, 26,31 8 7 4/10~ 10/10 十一放假 占2学时2-5具有内热源的导热及多维导热 第二章:42,45, 51,53 8 8 11/10~ 17/10 §3-1非稳态导热的基本概念 3-2集总参数法的简化分析 3-3典型一维非稳态导热的分析解 8 9 18/10~ 24/10 §4-1数值解的基本思想及内节点离散方程的建立 4-2边界点离散方程的建立及代数方程的求解4-3非稳态导热问题的数值解法 第四章:9 补充习题:1,2,3,4,5,6,7 8 10 25/10~ 31/10 §5-1对流换热概说 5-2对流换热问题的数学描写 实习 2 8 11 1/11~ 7/11 §5-3边界层 §5-4流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论 实习 2 第五章:1,2,3,6,8,13 8 12 8/11~ 14/11 计算机 实习 4 8 13 15/11~ 21/11 §6-1相似原理-2相似原理的应用 -3内部流动强制对流热实验关联式2 计算机 实习 2 第六章 1,6,7,8,20 8 14 22/11~ 28/11 §6-4外部流动强制对流热实验关联式 -5大空间与有限空间内自然对流热及其实验关联式 2 第六章:27,24,37,42,52,61 8 15 29/11~ 5/12 §7-1凝结-2膜状凝结分析解及关联式 -3膜状凝结因素-4沸腾换热现象-5大容器沸腾传热实验关联式 §7-6沸腾传热的影响因素及其强化 2 其中测验 2 第七章:12,19 8 16 6/12~ 12/12 §8-1热辐射的基本概念 -2黑体辐射基本定律-3固体和液体的辐射特性 -4实际物体吸收与 第八章:7,15,17 8 17 13/12~ 19/12 §9-1辐射传热角系数的定义、性质及计算-2两表面的辐射热-3多表面系统辐射热4 第九章:5,6,7,18,20,24,29,34,35,37,38,39,42,45 8 18 20/12~ 26/12 §9-4辐射热的强化与削弱-5气体辐射-1传热过程的分析和计算4 8 19 27/12~ 2/1 §10-2换热器的及平均温压 -3间壁式换热器的热 第十章 2,3,6,9,13,17,21,25,26,28,32,33,50 8 20 3/1~ 9/1 §10-4传热的强化和隔热保温技术 4 补充习题8,9,10,11,12,13,14,15,16 8 二、思考题和练习题 (注:括号内编号为第三版相对应的习题编号): 思考题:5(5),7(7) 习 题:4(1),10(7),15(12),18(14),24(20),27(23),28(24) 思考题:3(3),4(4),6(6) 习 题:1(1),2(2),3(3),13(8),14(9),16(11),24(19),26(21), 31(26),42(35),45(38),51(44),53(46) 思考题:6(6) 习 题:2(2),6(6),10(10),12(12),13(13),15(15) 思考题:1(1),6(6) 习 题:9(9) 思考题:1(1),2(2),3(3) 习 题:1(1),2(2),3(3),6(6),8(7),13 思考题:3(5.10),5(5.12 ),6(5.13 ),9(5.16) 习 题:1(5.16),6(5.21),7(5.24),8(5.25),20(5.37),27(5.44), 34(5.51),37(5.54),42(5.59),52(5.69),61(5.76) 思考题:1(1),5(5),6(6),10(10) 习 题:12(6.12) 19(6.21) 第八章 思考题:5(5),7(7) 习 题:7(7),15(16),17(18) 第九章 思考题:1(1),3(3))t1和t2,导热系数λ=λ0+at2,其中λ0和a为常数。分别对a<0、a=0和a>0三种情况画出平板中温度分布曲线的示意图(三种情况画在同一张图上以便于比较),并求当λ0=0时板内温度分布和热流密度计算式。 厚δ=100mm的水平平板,λ=10W/m℃,放在温度为tf=20℃的空气中。其上表面接收350W/m2的辐射热,下表面散给环境200W/m2的热量。平板上表面与空气对流换热的表面传热系数为h=10 W/m2.℃,求平板上、下表面温度。 一块大平板,厚度,有内热源,平板中的一维稳态温度分布为,式中,c =-200 ℃/m2。假定平板的导热系数λ=50 W/m℃,试确定:(1)平板中内热源之值;(2)和边界处的热流密度。 电加热元件直径为d=20 mm、长L=300 mm的金属圆棒,其导热系数λ=20 W/m.℃,密度ρ=7800 kg/m3,比热c=420 J/kg℃,该元件放置于温度为10℃的房间内,电加热功率为300 W,元件表面传热系数h=35 W/m2.℃,,求: (1)当电路故障突然停电时,元件表面温度; (2)停电10分钟后,元件表面温度; (3)在停电的10分钟内,元件少向室内供给的热量。 直径为d=0.5mm的球,其材料的密度ρ=8920kg/m3, 比定压热容cp=400 J/(kg.K),导热系数为25 W/(m.K)。其初温为20℃,突然将其置入温度t =125℃的气流中,表面传热系数为420 W/(m2.K),问热电偶指示温度达到100℃时所需的时间;在这期间热电偶吸收的热量是多少? 质量为M、比热为c、表面面积为A的小型导电体,初温等于环境温度Ta ,通电加热后温度逐渐升高,最终达到平衡温度Tb , 试证: ,并说明的意义(,其中h是导电体与环境的对流换热系数)。 如图所示为一扇形区域中的二维、稳态、无内热源的导热问题,其一侧平直表面维持均匀恒定温度的表面绝热,其余表面与温度为的环境换热,表面传热系数为,为用数值法确定区域中的温度分布,在径向和周向分别用定步长和划分计算区域,节点布置如图所示。假定区域的物性参数已知且为常数,试用热平衡法建立节点1和7的离散方程(有限差分方程式)。(不要求整理) 有一边长为1米的无限长正三角形通道,三个表面黑度分别为ε1=0.8、ε2=0.4、ε3=0.6,若表面1和2温度为t1=1200K和t2=1000K,表面3的净辐射换热量Φ3=15.9KW,求:(1)画出辐射换热网络图;(2)各角系数;(3)各表面热阻和空间热阻;(4)表面1,2净辐射热量及表面3的温度;(5)当Φ3=0时,表面1,2净辐射热量及表面3的温度。 常压下的空气流经一个长为10 m的环型截面通道,通道内管外径d1=200 mm,外管内径d2=400 mm,空气在通道中平均流速为5 m/s,平均温度40℃,通道内管外表面温度tw1=75℃,平均黑度ε1=0.2,通道外管内表面温度tw2=20℃,平均黑度ε2=0.82,计算整个内管单位时间散失的总热量。 一外径2 mm的细管,外表面保持温度为200℃,细管被放置在内径为10 cm的管道内,管道内壁温度为20℃,为减少辐射换热,在细管与管道之间加一厚度极簿、直径为10 mm的金属遮热管,遮热管内外表面的黑度相等,问:(1)加遮热管前后细管外表面与内管表面间辐射换热量;(2)加热管直径对减少辐射有何影响;为什么?(细管ε1=0.6,管道ε2=0.8,遮热管ε3=0.214) 入口温度为150℃的热空气,流过内径100mm,厚6mm,长30m的钢管,流量为407kg/h。钢管用40mm厚的泡沫混凝土保温,其导热系数λ2=0.1W/(m.K)。钢管导热系数λ1=53.7 W/(m.K)。保温层表面对环境的复合换热表面传热系数为9.6W/(m.K),环境温度为15℃,求管道出口处的热空气温度。 直径为,长度为1m的电阻丝水平地置于的静止空气中,试问在不计辐射换热的情况下它每米长度上能承受的最大散热量是多少?如果考虑辐射换热,这一最大散热量朝哪个方向变化?该电阻丝的熔点为。注:空气在水平圆柱体外自然对流换热的准则式为:, () 温度为60℃的饱和水蒸汽在铜管外凝结, 凝结换热系数为8469 W/m2.℃。管内冷却水流量0.5 kg/s,比热4.174×103 J/kg.℃,对流换热系数5000 W/m2.℃。若管内冷却水温度由20℃增加到40℃,求铜管的传热面积(忽略管壁热阻和污垢热阻,近似取di=do)。 为了得到热水,0.361 MPa (ts=140℃) 的水蒸气在管外凝结(如图所示),其表面传热系数hO=9500 W/m2.℃。冷却水在盘管内流动,流速为,黄铜管外径为,壁厚为,导热系数为λ=132W/(m.K),盘管的弯曲半径为。冷水进换热器时的温度为,加热到。试求所需的换热面积及盘管长度(不计管内入口效应修正及温差修正)。 质量流量为的变压器油在螺旋盘管中流过,油温从被冷却至,其比定压热容。进口温度为的冷水在盘管外流动用来冷却变压器油。出口处水温,水的比定压热容 。水侧表面传热系数为,油侧表面传热系数为。钢盘管的导热系数为,污垢热阻总共为。若盘管的直径为,管的外径壁厚为。求螺旋盘管的最小长度、盘数与水的质量流量。 一支热电偶被置于高温气流的通道中,热接点温度为t1,气流温度为tf,流道内壁温度为tw,热接点与气流间的对流传热表面传热系数为h,其表面发射率为ε1。 (1)分析热电偶测温时热接点的热量传递方式; (2)推导气流线)根据推导结果,分析测量误差产生的原因,并提出改进措施。 两个同心圆筒壁的温度分别是t1=80℃和t2=30℃,直径分别为d1=10cm及d2=15cm,黑度均为0.8。 0.05,请画出辐射传热等效网络图;(3)现有直径分别为12.5cm和11cm的两种遮热罩可供选择,试问置入哪种直径的遮热罩后削弱辐射换热的效果好一些;(4)此时的辐射换热量是不加遮热罩时辐射换热量的百分之几?(不计圆筒壁的厚度) 如图所示为一直径1m的半球空间。半球底面分成1和2 两个半圆黑体表面,温度分别为℃和300℃。℃。试画出辐射换热网络图并求半球内表面3的净辐射换热量。 四、复习提纲 基本内容 导热 对流 辐射 换热器传热计算与分析 导热 基本概念 导热系数、导温系数(热扩散系数)、温度场、稳态与非稳态换热、等温线、初始条件、三类边界条件及其数学表达式、热阻、接触热阻。 理论 傅里叶定律: 导热微分方程:=)+++ 计算 (1)、平壁:= = …… = (2)、园筒壁: = …… = (3)、园球壁(导热实验): (4)、肋效率: =实际散热量/假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量(=)=ch(m(x-H))/ch(mH), 肋端: 热量: 肋效率: (6)、有内热源的导热 温度分布:(第三类边界条件) (第一类边界条件) 热流密度: (7)、变截面一维稳态导热: 其中: (8)、导热问题差分方程建立: 1)、差分替代微分 2)、控制容积法 非稳态导热 基本概念 毕渥准则数(Bi、)、傅立叶数(、)、时间常数、集总参数法及其使用条件、分离变量法和诺谟图。 理论 (1)、一维、二维、三维非稳态导热问题的完整数学描述:方程+边界条件+初始条件 (2)、Bi时,非稳态导热问题的完整数学描述(集总参数法) 计算 (1)、集总参数法(<0.1M, M=1(平板),1/2(圆柱),1/3(圆球) [W] [J] 时间常数 : 非稳态导热的数值解法。 分析:各种情况下非稳态温度分布的定性描述。 对流与相变换热 1 基本概念 边界层(层流、紊流、层流底层、温度边界层、Pr、Re、Gr的物理概念、数量级,定性温度,定性尺度,管内层流入口效应和定型段(充分发展),管长修正,温度修正,弯管修正,当量直径,膜状凝结,珠状凝结,过冷沸腾,饱和沸腾,核态沸腾,膜状沸腾,沸腾换热临界热流密度,烧毁点,大容器沸腾换热曲线 理论 对流换热的数学描写 动量方程(2个)、能量方程、连续性方程 、换热方程 、边界条件 附面层微分方程组及其求解 附面层积分方程组及其求解 雷诺比拟 相似原理 3 计算 管槽 : (注意考虑各种修正) 横掠单管和管束: 自然对流: 4 分析 影响对流换热系数的因素及其物理机理 根据边界层画出各类对流换热局部对流换热系数曲线 管内强制对流进行管长、弯管及其温度修正的物理原因 影响膜状凝结换热的因素 珠状凝结换热为何强于膜态凝结 大容器饱和沸腾曲线 对流换热系数的大概数量级 辐射换热 1 概念 黑体、灰体、黑度(发射率)、单色黑度(光谱发射率)、定向黑度(定向发射率)、辐射力(本身辐射)、单色(光谱)辐射力、吸收率(比)、单色(光谱)吸收率(比)、反射率、透射率、镜反射、漫反射、黑体辐射函数、立体角、可见辐射面积、定向辐射强度、有效辐射、投入辐射、角系数及其性质、表面热阻、空间热阻、求解辐射换热网络法、重辐射表面、复合换热、气体辐射特性。 2 理论 普朗克定律: W/m3 维恩位移定律: 斯蒂芬-玻尔兹曼定律(四次方定律): W/m2 兰贝特定律: 常量, 基尔霍夫定律: ; 3 计算 角系数 代数法: (a) 一个方向无限长封闭三凸面 (b) 一个方向无限长任意两凸面 (c) 由角系数定义直接计算 查表(资料)法 积分法 角系数性质 相对性: 完整性: 分解性: 两表面封闭体系的辐射换热量 一般式: 几种特殊情况的简化式: (a) 时: (b) 时: (c) A1/A2≈0时: 4 分析 辐射特点(与对流和导热相比) 一般意义的辐射与阳光辐射的区别 黑体与黑色物体的区别,白体与白色物体的区别 基尔霍夫定律的条件 黑度对辐射换热系数的影响 减少辐射换热的方法 传热与换热器 1.概念 传热系数、表面传热系数、辐射换热表面传热系数、复合换热表面传热系数、临界绝缘直径、肋面总效率、肋化系数、顺流、逆流、叉流、传热有效度、NTU、套管式换热器、壳管式换热器、壳程数、管程数、污垢热阻,强化换热的原则。 2.计算 传热系数 平壁: 圆筒壁: (2)临界绝缘直径 (3)对数平均温差 (4)换热器计算: 3. 定性分析 常见强化传热措施 各种流型的比较 (a); (b) 逆流壁温高于顺流壁温; (c) 与之一为无穷大(如有一侧凝结或沸腾): 纯顺流和纯逆流流体温度沿程变化曲线 例如:, C, , 作出其温度变化的沿程曲线。 五、计算机实习指导书 本指导书是为配合本科生传热学课中计算机应用方面的教学而编写的。 应用计算机解决工程实际问题,是现代工程技术人员所必备的技能。在传热学课程中引入计算机实习的目的,是使学生初步掌握用计算机求解传热问题的技能,从而提高学生应用计算机解决工程实际问题的能力,同时也加深对所学习的传热学内容的理解。 大量的传热问题能够用计算机求解。研究如何用计算机求解传热问题的专门知识数值传热学(或称计算传热学)已经发展成了传热学的一个分支学科。传热学课中所涉及的只是数值传热学的初步知识。因此,本次计算机实习也仅仅是作为数值传热学的入门。 本指导书给出了三个练习题及相应的算法。这三个练习题分别涉及了一维稳态导热、二维稳态导热和一维非稳态导热。要求学生在掌握问题的数值计算方法的基础上,独立编写计算机程序并用所编的程序计算出这三个练习题的数值结果。 练习题一:一维稳态导热的数值计算 物理问题 图1示出了一个等截面直肋,处于温度t∞=80℃的流体中。肋表面与流休之间的对流换热系数为h=45W/m2.℃,肋基处温度tw=300℃,肋端绝热。肋片由铝合金制成,其导热系数为λ=110W/m℃,肋片厚度为δ=0.01m,高度为H=0.1m。试计算肋内的温度分布及肋的总换热量。 2数学描述及其解析解 引入无量纲过余温度,则以无量纲温度θ描述的肋片导热微分方程及其 (1-1) (1-2) (1-3) 其中(其中符号含义与教科书杨世铭陶文铨编著《传热学》相同,以下同)。 上述数学模型的解析解为: (1-4) 按式(1-4)计算得到的在肋内各点的温度由表1给出。 表1 等截面直肋内各点的温度 坐标x m 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0. 1 温度t ℃ 300.00 286.56 274.84 264.76 256.13 248.97 243.19 238.11 235.58 233.70 233.09 3 数值离散 区域离散 在对方程(1-1)~(1-3)进行数值离散之前,应首先进行计算区域的离散。计算区域的离散如图1所示,总节点数取N。 微分方程的离散 由于方程(1-1)在计算区域内部处处成立,因而对图1所示的各离散点亦成立。对任一节点i有: 用θ在节点i的二阶差分代替θ在节点i的二阶导数,得: 整理上式成迭代形式: (i=2,3,…,N-1) (1-5) 边界条件离散 上面得到的离散方程式(1-5),对所有内部节点都成立,因此每个内部节点都可得出一个类似的方程。事实上,式(1-5)表达的是一个代数方程组。但这个方程组的个数少于未知数 (i=1,2, ……,N)的个数。因此,还需要根据边界条件补充进两个方程后代数方程组才封闭。左边界(x=0)为第一类边界条件,温度为已知,因此可以根据式(1-2)直接补充一个方程为: 右边界为第二类边界条件,由图1中边界节点N的向后差分来代替式(1-3)中的导数,得: 将此式整理为迭代形式,得: 最终的离散格式 (i=2,3,…,N-1) (1-6) 代数方程组的求解及其程序 代数方程组有各种求解方法,较为有效而简便的方法是高斯-赛德尔迭代方法。式(1-6)已给出了代数方程组的迭代形式。在实际计算中,应首先假定一个温度场的初始分布,即给出各节点的温度初值: 将这些初值代入方程组(1-6)中进行迭代计算,直至收敛。假如第K步迭代已完成,即为已知,则K+1次迭代的计算式为: (i=2,3,…,N-1) (1-7) 根据式(1-7)编写程序的工作由学生自行完成。计算结果可与解析解比较。 通过数值计算可以发现,由于对肋端的绝热边界条件离散时采用了一阶精度的向后差分,因此当网格数较少时,数值计算结果与解析解在肋端附近有较大的差别。对肋端的绝热边界条件采用具有二阶精度的元体平衡法进行数值离散时,得到以下离散格式: 计算可以发现,采用这个格式当网格数较少时,亦能得到精度较高的数值计算结果。 练习题二:二维稳态导热的数值计算 1 物理问题 图2示出了一矩形区域,其边长L=W=1,假设区域内无内热源,导热系数为常数,三个边温度为T1=0,一个边温度为T2=1,求该矩形区域内的温度分布。 2 数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为: (2-2) 作为参考,以下给出该问题的解析解: (2-3) 表2列出了由式(2-3)计算得到的在平面区域内各不同位置的温度值。 表2 平面区域内温度分布(用式2-3计算得到) 坐标 温度 T 坐标 温度 T x y x y 0.25 0.25 0.068 0.25 0.75 0.432 0.50 0.25 0.095 0.50 0.75 0.540 0.75 0.25 0.068 0.75 0.75 0.432 1.00 0.25 0.4 1.00 0.75 3 0.25 0.50 0.182 0.25 1.00 0.999 0.50 0.50 0.25 0.50 1.00 1.024 0.75 0.50 0.182 0.75 1.00 0.999 1.00 0.50 2 1.00 1.00 65 数值离散 区域离散 区域离散如图2所示,x方向总节点数为N,y方向总节点数为M,区域内任一节点用i,j表示。 方程的离散 对于图2中所有的内部节点方程(2-1)都适用,因此可写为: 用i,j节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数,得: 上式整理成迭代形式: (i=2,3,…,N-1),(j=2,3,…,M-1) 补充四个边界上的第一类边界条件得: (j=1,2,…,M) (j=1,2,…,M) (i=1,2,…,N) (i=1,2,…,N) 计算程序 计算程序由学生自行完成。 练习题三:一维非稳态导热的数值计算 非稳态导热问题由于有时间变量,其数值计算出现了一些新的特点。在非稳态导热微分方程中,与时间因素相关的非稳态项是温度对时间的一阶导数,这给差分离散带来了新的特点。由于这个特点,可以采用不同的方法构造差分方程,从而得到几种不同的差分格式,即所谓的显式、隐式和半隐式。我们仍然从一个具体问题出发来研究非稳态导热问题的数值计算。 问题 一块无限大平板(如图3所示),其一半厚度为L=0.1m,初始温度T0=1000℃,突然将其插入温度T∞=20℃的流体介质中。平板的导热系数λ=34.89W/m℃,密度ρ=7800kg/m3,比热c=0.712J/kg℃,平板与介质的对流换热系数为h=233W/m2.℃,求平板内各点的温度分布。 数学描述 由于平板换热关于中心线是对称的,仅对平板一半区域进行计算即可。坐标x的原点选在平板中心线上,因而一半区域的非稳态导热的数学描述为: 该数学模型的解析解为: (3-5) 其中,为方程的根,。 表3给出了在平板表面(x=L)处由式(3-5)计算得到的不同时刻的温度值。 表3 平板表面各不同时刻温度值。 时 间(S) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温 度(℃) 981.84 974.47 968.88 964.20 960.11 956.14 953.08 949.97 947.07 944.34 数值离散 计算区域的离散 一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的。若考虑时间坐标,则所谓的一维非稳态导热实际 上是二维问题(见图4),即:有时间坐标τ和空间坐标x两个变量。但要注意,时间坐标是单向的,就是说,前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响,但后一时刻的状态却影响不到前一时刻,图4示出了以x和τ为坐标的计算区域的离散,时间从τ=0开始,经过一个个时层增加到K时层和K+1时层。 微分方程的离散 对于i节点,在K和K+1时刻可将微分方程(3-1)写成下面式子: 将式(3-6)~(3-7)的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为: 观察式(3-8)和(3-9),这两个式子的右端差分式完全相同,但在两个式子中却有不同含义。对式(3-8),右端项相对i点在K时刻的导数是向前差分。而在式(3-9)中,右端项是I点在K+1时刻的导数的向后差分。将式(3-8)和(3-9)分别代入式(3-6)和(3-7),并将式(3-6)和(3-7)右端关于x的二阶导数用相应的差分代替,则可得到下列显式和隐式两种不同的差分格式: 显式: (3-10) (K=0,1,2, ………, i=2,3,…,N-1) 全隐式: (3-11) (K=0,1,2, …………… i=2,3,…,N-1) 以上两式中的。 从式(3-10)可见,其右端只涉及K时刻的温度,当从K=0(即τ=0时刻)开始计算时,在K=0时等号右端都是已知值,因而直接可计算出K=1时刻各点的温度。由K=1时刻的各点的温度值,又可以直接利用式(3-10)计算K=2时刻的各点的温度,这样一个时层一个时层的往下推,各时层的温度都能用式(3-10)直接计算出来,不要求解代数方程组。而对于式(3-11) 等号右端包含了与等号左端同一时刻但不同节点的温度,因而必须通过求解代数方程组才能求得这些节点的温度值。 边界条件的离散 对于式(3-3)和(3-4)所给出的边界条件,可以直接用差分代替微分,也可以用元体平衡法给出相应的边界条件,亦有显式和隐式之分。通常,当内部节点采用显式时,边界节点也用显式离散;内部节点用隐式时,边界节点亦用隐式。边界节点的差分格式是显示还是隐式,取决于如何与内部节点的差分方程组合。用K+1时刻相应节点的差分,代替式(3-3)和(3-4)中的微分,可得到边界节点的差分方程: (3-12) 最终的离散格式 显式: (i=1,2,3,…,N) (初始值) (3-13) (i=2,3,…,N-1) (3-14) (3-15) (3-16) 其中K=0,1,2,……。当采用二阶精度的元体平衡法离散时,与式(3-15)和(3-16)对应的离散格式为: 其中。 隐式: (初始值) (3-17) (3-18) (i=2,3,…,N-1) (3-19) (3-20) 其中K=0,1,2,…… 在用隐式差分计算时,每个时层都需要迭代求解代数方程组(3-17)~式(3-20)。在每个时层计算时,都要先假定一个温度场(一般取上一时层的温度场为本时层的初始场),然后迭代计算直至收敛。 程序 程序由学生自行完成。 六、补充材料: 绕流平板的流动和换热无量纲参数比拟和相似物理问题 我们考虑流体绕流平板的二维层流附面层流动和换热。如图6.1所示,具有均匀来流速度u∞和均匀温度t∞的流体冲刷恒定温度为tw、在流动方向尺度为L的平板。假设垂直于纸面方向为无限长,流动和换热为二维、稳态、层流。受固体平板的影响,流体在固体平板附近分别形成速度和温度附面层。速度附面层厚度为δ,温度附面层厚度为δt,平板与流体换热的局部热流密度为q。我们下面来分析上述物理模型的流动和换热。 数学模型 根据附面层的概念,忽略流动方向的扩散作用(或经过数量级比较),得到如下附面层内流动和换热的微分方程组: (6.1) (6.2) 边界条件为: (6.3) (6.4) (6.5) 数学模型的无量纲化 定义如下无量纲量 , , , , , 其中Re称为雷诺(Reynolds)数,是流体力学和传热学中的重要无量纲参数;Pr称作普朗特(Prandtl)数,也是流体力学和传热学中的重要无量纲参数,它实际是一个无量纲的物性参数,是流体粘性扩散能力与热扩散能力的比值,纯流动问题与此参数无关,当流动和换热同时存在时会涉及到这个参数。 将微分方程(6.1)和(6.2)以及边界条件(6.3)~(6.5)中的所有量都用上述定义的无量纲量代换,例如对于方程(6.1),根据定义有 , , , , 将上述式子代入到方程(6.1)中得: 或 用同样方法对于方程(6.2)及边界条件(6.3)~(6.5)进行代换并整理,最后得到无量纲化的数学模型为: (6.6) (6.7) 无量纲边界条件: (6.8) (6.9) (6.10) 局部对流换热系数和 由牛顿冷却公式可得 (6.11) 有人曾将牛顿冷却公式称作牛顿冷却定律,但实际上牛顿冷却公式仅仅是相当于给出了对流换热系数的定义式(6.11)。事实上,实际问题中固体与流体对流换热的热流密度q在整个固体表面各点通常是不同的,固体表面各点的温度tw以及流体的温度tf也可能是一个分布的函数,因此,式(6.11)所给出的对流换热系数h在一般情况下在固体表面各点也是一个分布函数,我们称为局部对流换热系数。整个表面的平均对流换热系数为 (6.1) 过去我们曾经用式 计算固体表面的对流换热量,如果局部对流换热系数不是常数,这里的h应理解为是平均对流换热系数省略了表示平均值的“-”。 从以上的讨论可以知道,对流换热系数其实是一个“主观”的定义,其中的和tf以及计算平均值时采用的温差Δt都可能有多种取法,因此,不同的场合,不同的人,以及不同的书籍或资料,即使是对同一个问题都可能有不同的对流换热系数定义。当我们应用各种对流换热系数计算公式时,必须首先搞清这个计算公式中的对流换热系数是如何定义的。 对于我们现在讨论的流体绕流平板流动和换热,如图6.1所示,局部对流换热系数定义为 (6.13) 其中 tw和t∞都是常数,但q=q(x),即热流密度q沿平板是变化的,因此局部对流换热系数h=h(x)沿平板也是变化的。平均对流换热系数定义为 (6.14) 当给出了对流换热系数的定义后,事实上我们已经将对流换热量q或Ф的计算,转化成了计算局部对流换热系数h或平均对流换热系数。由式(6.13)可知,要计算h,需要首先知道流体中的温度分布,然后根据流体中的温度分布求出紧贴固体壁面处流体的温度梯度,最后再对紧贴固体壁面处的流体应用傅里叶导热定律求出对流换热系数h。我们在前面建立数学模型,给出了关于温度函数的微分方程及其边界条件,其目的之一正是要通过求解微分方程获得,流体中的温度分布,并进一步应用傅里叶导热定律求出对流换热系数h。然而,由于对流换热与流体的流动是相关联的,或者说是相“耦合”的,即流体流动状态会影响对流换热,在我们求解流体温度分布的同时,还必须同时求解出流体的流速分布,因此在上面我们除了给出了关于温度的微分方程外,同时还给出了关于流体流动速度的微分方程及其边界条件,即我们给出的数学模型是一个微分方程组。这种由理论方法计算对流换热量的基本思路是:根据物理模型建立以微分方程组描述的数学模型,然后通过对数学模型的求解,求出流体的温度分布,最后再应用傅里叶导热定律求出对流换热系数h并最终获得对流换热量。 顺便提一句,有时流体温度分布和速度分布本身也是工程上需要知道的。因此有些问题建立上述模型的目的不仅是要求换热,温度分布和速度分布本身也正是工程上需要计算的。 局部系数和关于流体流动的摩擦阻力系数cf定义如下: (6.1)τw为流体与固体壁面的粘性摩擦力,根据牛顿内 (6.16) 式(6.15)也可变换成以下形式 (6.17) 平均阻力系数为 (6.18) 无量纲参数 这里定义一个关于换热的无量纲参数 (6.1) 其中的x是一个长度变量。Nux称作努谢尔特(Nusselt)数。由于h一般是空间坐标变量的分布函数,因此Nux也是一个无量纲的空间坐标变量分布函数,即它不一定是个常数。式(6.1)定义的是局部努谢尔特数。与平均对流换热系数不同的是,平均努谢尔特并不是式(6.1)定义的局部努谢尔特数的积分平均值,而是用平均对流换热系数定义的: (6.) 上面定义的局部努谢尔特数Nux与平均努谢尔特数并不协调。为了分析问题的方便,也可以用下式定义局部努谢尔特数 (6.) 如果采用式(6.)定义,则平均努谢尔特数为Nu的积分平均值。 以上我们涉及或定义了三个无量纲参数:Re、Pr、Nu绕流平板的二维层流附面层流动和换热Re和Pr,不涉及问题的任何其他具体参数,如来流速度、温度、平板长度等都没有出现在数学模型中。换句话说,求解无量纲数学模型式(6.6)~(6.10)得到的无量纲速度分布函数U(X,Y)和无量纲温度分布函数Θ(X,Y)与Re和Pr是一一对应的,每给定一个Re的值和给定一个Pr的值,都能对应得到一个满足式(6.6)~(6.10)的解U(X,Y)和Θ(X,Y)。这就是说,由Re和Pr规定了无量纲速度分布函数U(X,Y)和无量纲温度分布函数Θ(X,Y),因此又称Re和Pr为无量纲特征数。假如保持Re和Pr不变,无论绕流平板的二维层流附面层流动和换热Θ(X,Y)都不变。这实际就是我们后面将涉及的相似的概念。 我们还可以注意到,由式(6.17)和(6.20), cfRe和努谢尔特数Nu仅仅与无量纲速度分布函数U(X,Y)和无量纲温度分布函数Θ(X,Y)有关,而U(X,Y)和Θ(X,Y)又是与Re和Pr是一一对应的,因此,cf和Nu也一定与Re和Pr是一一对应的,即他们之间必存在一个确定的函数关系,可表示为: (6.) (6.)Re和Pr存在确定的函数关系。也可能存在其他的方法能够帮助我们找到函数cf(Re,Pr)和Nu(Re,Pr)。事实上,目前工程上采用的计算cf和Nu的公式,绝大多数都是由实验的方法所获得的。上面讨论的绕流平板的二维层流附面层流动和换热1915年,努塞尔特发表了他的论文无量纲准则关系式努塞尔特求解对流换热问题的方法,促进了对流换热研究的发展。))努塞尔特无量纲准则绕流平板二维层流附面层流动和换热无量纲化数学模型Θ的方程(6.7)具有完全相同的形式,并且在边界条件(6.8)~(6.10)中关于U和关于Θ的边界条件也完全相同,因此,U和Θ的解必定完全相同,即 (6.24) 因此有 (6.25) 根据式(6.17)和式(6.21)可得 (6.26) 式(6.26)称作雷诺比拟。 雷诺比拟的意义在于,它将两个不同的物理现象的定量指标联系在了一起。Nu和cf分别是反映换热和流动这两种不同物理现象的特性参数,由式(6.26)可知,它们之间存在确定的函数关系。假如能够通过某种方法,例如解析的方法或实验的方法,获得Nu和cf其中一个,则另一个立即可由式(6.26)得到。通过对方程(6.6)进行解析求解,能够获得无量纲流速函数U(X,Y),并进一步由式(6.17)得到cf的计算公式为(在x=L处) (6.27) 当Pr=1时,由雷诺比拟关系式(6.26)得到 (6.28) 在实际应用中,工程上常用的流体的Pr一般不能正好等于1,例如,空气的Pr大约为0.7,水和水蒸气的Pr大约在0.8~10之间,因此实际流体一般不能严格满足雷诺比拟关系式(6.26)。对于一般流体,契尔顿(Chilton)和柯尔本(Colburn)给出了修正雷诺比拟 (6.29) 式中无量纲数St称作斯坦顿(Stanton)数,其定义为 (6.30) 式(6.29)又称契尔顿-柯尔本比拟,是归纳出来的近似的比拟关系,不象雷诺比拟是严格成立的。 在工程实践中,通常比较容易通过实验获得阻力系数cf的计算公式,而换热实验比较难做。有了上述换热和流动的比拟关系,就不必进行换热实验,只要由比拟关系并利用阻力系数cf的实验结果,就可得到Nu的计算公式。事实上,目前在工程上应用的某些换热Nu的计算公式就是利用这种比拟的方法获得的。无量纲化数学模型Re和Pr不变,无论绕流平板的二维层流附面层流动和换热数学模型Θ(X,Y)都是唯一确定的(这里不考虑分岔等特殊情况)。假如对于来流速度不同的两种情形(或说两种工况)能够保持Re和Pr不变,例如对这两种不同的情形可以采用不同的板长L,流速高的采用较小的板长以使两种不同情形的Re相同,则描述这两种不同情形的流动和换热的数学模型Θ(X,Y)完全相同,我们称这两种不同情形的流动和换热为相似。 (3)比拟和相似的讨论 以上介绍了比拟和相似的概念。比拟是针对不同类的物理现象而言的。例如,上面介绍的流动问题的解(速度分布函数)与换热问题的解(温度分布函数)相同,我们就说流动和换热这两类物理现象是可比拟的。相似是针对同类物理现象在不同工况时而言的。同样的流动与换热问题但是在不同的工况下,如果能够保持其无量纲特征数相同,因而其无量纲速度和温度分布也相同,则称这些不同的工况为相似。 事实上,自然界有许多可相互比拟的物理现象。除上面提到的流动和换热比拟外,还有热电比拟,热磁比拟,等等。从某种意义上说,某些数学公式就是对其对应的所有可比拟的物理现象的抽象。数学公式描述了这些可比拟的物理现象的共同特征。大家所熟知的数学中的所谓拉普拉斯方程,事实上可以有非常丰富的物理背景,当将其中的函数赋予不同的物理含义时,例如可以代表电场、磁场、温度场,甚至某种生物的种群密度,则拉普拉斯方程就描述了不同的物理现象。由于比拟关系的存在,我们才能做到知此知彼。利用比拟关系,我们能够通过流动实验而不用换热实验就获得换热问题的解,当然,我们也可以利用比拟关系通过电学实验,获得换热问题的解。有一种叫热电比拟仪的实验设备,就是通过电势分布的测试,获得其所对应问题的温度分布的。 无论是比拟还是相似,如果能够对所对应的物理现象给出数学描述的话,他们应该有相同的数学模型,因而有相同的解。但要想对不同的问题获得解的数值相同的数学模型,这个数学模型应该是无量纲的。因此,通常我们给出了对具体问题的数学模型后,往往还要将数学模型进行无量纲化。无量纲的数学模型代表的是一类物理现象,也是一种数学的抽象。 18 图表 错误!文档中没有指定样式的文字。1 2 3 第8题图 第14题图 饱和蒸气 冷却 水 (2-1) (3-1) (3-2) (3-3) (3-4) (3-6) (3-7) (3-9) (3-8) 第18题图 ③ ② ① 第7题图 δ δt tw t∞ u∞ L 0 y x 图6.1 流体

  网球的内心游戏(The_inner_game_of_tennis).pdf

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